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Rechner
 Luftlinie - Entfernung auf der Erdkugel

Vorgabe-Orte:
A: Frankfurt a.M.
B: Rio de Janeiro
Ort A
Ort B
Stellen
Luftlinie = 9597 km
Eingabe-Format



Im obigen Online-Rechner sind geografische Breite und Länge in Grad durch Komma getrennt, mit Minus-Zeichen für südliche Breite bzw. westliche Länge, und mit Punkt als Trennzeichen für den Bruchteil einzugeben. Dieses Format ermöglicht eine direkte Kopie der Geokoordinaten aus Wikipedia, z.B.
Ort A: Frankfurt a.M.:   50.110556°,    8.682222°
Ort B: Rio de Janeiro:  -22.908333°, - 43.196389°
Luftlinien-Entfernung Frankfurt - Rio de Janairo = 9597 km
Auf das Grad-Zeichen ° hinter der Zahl kann verzichtet werden, d.h. auch die Eingabe von z.B. 50.110556, 8.682222 für Frankfurt funktioniert.
 
Fehlermeldung "NAN" In der Formel (s.u.) zur Berechnung der Luftlinie wird die Funktion arccos(z) verwendet, die nur für z-Werte zwischen -1 und 1 definiert ist. Falls der Ort B der Antipode (s.u.) zu A ist, gilt: z = −1 (Herleitung s.u.). Durch rechnerinterne Rundungen kann es jedoch zu z-Werten knapp unter -1 kommen. In solchen Fällen erscheint das Ergebnis "NAN" (not a number) [1] .
Beispiel: Chimborazo (-1.469167°, -78.8175°) [2] , Antipode (1.469167°, 101.1825°)
Das Ergebnis ist "NAN" statt richtig 20.037,509 km (= halber Äquatorumfang).
Der Fehler kann behoben werden, indem z.B. bei Ort B die letzte Stelle bei der Länge etwas verändert wird, z.B. 101.1824°. Das liefert: 20.037,497 km, einen nur um 12 m geringeren Wert.
Falls Ort B mit A übereinstimmt, gilt: z = 1 (Herleitung s.u.). In diesem Fall könnte prinzipiell durch Rechenungenauikgeiten eine Zahl knapp über 1 entstehen. Dieser Fall ist aber bisher noch nicht beobachtet worden.
  
Genauigkeit Die obige Berechnung der Entfernung beruht auf einer Formel, bei der die Erde als exakte Kugel mit dem größtmöglichen Radius, dem Äquatorradius (6.378,137 km), angenommen wird. Tatsächlich ist sie im Vergleich zur Kugel zu den Polen hin etwas abgeplattet, weshalb der obige Online-Rechner um so größere Abweichungen liefert, je mehr bei der Lage der Orte A und B die Geometrie der Kugel von der des Rotationsellipsoids abweicht. Im Extremfall liegt z.B. Ort A auf dem Äquator und Ort B ist der Nordpol. Der obige Online-Rechner liefert dann als Ergebnis den Äquator-Viertelumfang (10.018,754 km) statt richtig den Pol-Viertelumfang (10.001,966 km), also 16,789 km (1,68 ‰) zu viel (s.u.Tabelle).
Für typische Anwendungen im Umfeld der Agenda 21, nämlich die grobe Schätzung großer Entfermungen, sind diese Abweichungen aber so gering, dass sie keine Bedeutung haben. (s.u.: Hinweise zur Formel und Berechnung)
Wenn die Luftlinien-Entfernung über größere Distanzen (Tausende km) genauer gemessen werden soll, z.B. auf ca 100 m genau, müssen Verfahren angewendet werden, bei der die Erde als
Rotationsellipsoid modelliert wird.
(
Genauere Formeln zur Abstandsberechnung auf der Erde: die dort berechnete angeblich auf 50 m genaue Entfernung Berlin-Tokio ist vermutlich falsch [4])
  
Entfernungsmessung
bei google-maps
Ein weiteres Verfahren zur Entfernungsmessung bietet google-maps: Ort A auf der Karte anzeigen (manuelles Verschieben der Karte oder Eingabe der Geokoordinaten oder des Namens in das Suchfeld). Durch Klick mit der rechten Maustaste auf A öffnet sich ein Kontextmenü mit der Option "Entfernung messen". Ort B auf der Karte anzeigen und anklicken. Danach erscheint auf der Karte eine Luftlinien-Verbindung mit der Angabe der Entfernung z.B. auf 10 m gerundet. Daraus folgt aber bei weitem nicht, dass dieses Ergebnis im Vergleich zur Wirklichkeit auf 10 m genau ist, wie die folgenden Beispiele zeigen:
Beispiele:
Orte auf dem
Äquator
Beispiel 1: Amazonas-Mündung A(0°, -50°) , B (0°,-78°) nahe Quito.
Da beide Orte auf dem Äquator liegen, ist ihre Entfernung der Teil des Äquotorumfangs, der zum Winkel 28° gehört, also: 40.075,017 km • 28°/360° = 3.116,95 km. Der obige Rechner liefert in diesem Spezialfall genau diesen Wert, weil er auf der Kugelgeometrie mit dem Äquatorradius basiert, während google mit 3.113,54 km eine um 3,45 km zu geringe Entfernung berechnet.
Beispiel 2: Antipoden auf dem Äquator: A(0°,0°); B(0°,180°):
google liefert 20.015,07 km statt richtig 20.003,932 km (halber Polumfang)
Die Ursache für die Abweichung bei google ist nicht klar, weil das interne Berechnungsverfahren nicht bekannt ist.
  
Genauigkeit
im Nahbereich

Anzahl Stellen
Der obige Rechner liefert im Nahbereich, z.B. die Luftlinien-Entfernung innerhalb von Städten, Ergebnisse, die bis auf 1 Meter genau sein können. Dazu kann die Anzahl der Nachkomma-Stellen beim Ergebnis interaktiv variiert werden, z.B. auf 3, um auf Meter genau zu runden (Vorgabewert = 0, d.h. Rundung auf ganze km).
Für die Genauigkeit des Ergebnisses im Nahbereich spielt nämlich die Abweichung der Erde von der Kugelform keine Rolle. Ausschlaggebend ist allein die Genauigkeit der Geokoordinaten.
360° entsprechen dem Äquatorumfang U = 40.075,017 km (s.u. Tabelle), also:
1° → 111,319 km, 0,001° → 111 m, 0,000.01° → 1,11m ; 0,000.001° → 0,111 m.
Um die Entfernung auf etwa 1 m genau zu berechnen, müssen die Koordinaten also mindestens 5, besser 6 Nachkommastellen haben.
       
Ermittlung der Geokoordinaten

Ermittlung der
Geokoordinaten
bekannter Objekte

Zu allen auch nur halbwegs bekannten geografischen Objekten, z.B. Städte und ihre Infrastruktur (u.a. besondere Gebäude oder Anlagen, wie Dome, Kathedralen, Kirchen, Museen, Brücken, Parks, Sportanlagen, Stadien, usw.), Berge, Vulkane, Seen, Industrieanlagen wie Kraftwerke u.ä., gibt es inzwischen eine Seite bei Wikipedia. Standardmäßig sind die Geokoordinaten oben rechts notiert. Durch Klick auf die Koordinaten wird eine Seite erstellt, in der oben rechts die Koordinaten auch im Dezimalzahlformat durch Komma getrennt angegeben werden. Dieses Format kann direkt in den obigen Online-Rechner kopiert werden.
  
Ermittlung der
Geokoordinaten
eines beliebigen Ortes
Die Geokoordinaten eines beliebigen Ortes können z.B.mit google-maps wie folgt ermittelt werden: Mittels Suchfunktion einen bekannten Ort in der Nähe suchen und die Karte dann ggf. so verschieben, dass der gesuchte Ort in der Karte ist. Durch Klick mit der rechten Maustaste auf den gesuchten Ort öffnet sich ein Kontextmenü mit u.a. der Funktion "Was ist hier?" Der Klick auf diese Funktion öffnet ein Infofenster mit u.a. den Geokoordinaten im Dezimalzahlformat, das direkt in den obigen Online-Rechner kopiert werden kann.
  
Anwendungsbeispiele für die Luftlinien-Entfernung

Berechnung von
Flugkilometern

Treibhausgas-Ausstoß

Um den Treibstoffverbrauch und damit den Ausstoß von Treibhausgasen (THG) gering zu halten, werden möglichst kurze Flugrouten gewählt, also solche nahe der Luftlinie. Die Berechnung der Luftlinienentfernung bietet also eine Basis zur Abschätzung der Flugkilometer und der erzeugten Treibhausgase (THG). Durch Eingabe der Geokoordinaten der beiden Flughäfen in den obigen Online-Rechner wird die einfache Flugentfernung ermittelt. Der THG-Ausstoß des Fluges hängt stark ab von den konkreten Parametern des Fluges (u.a. Flughöhe, Nah- oder Fernflug) und wird daher durch den Durchschnittswert von 320 g CO2-Äquivalent (CO2e) pro Kilometer nur grob geschätzt. Zum Kopfrechnen kann dieser Wert durch 1000/3 = 333 angenähert werden, woraus eine einfache Merkregel zum überschlägigen Kopfrechnen folgt:
       1000 Flugkilometer erzeugen rund 1/3 Tonne CO2e
.
  
Fankfurt a.M. (FRA)
50.033333°, 8.570556°


Rio de Janeiro / Santos Dumont (SDU)
-22.910461°, -43.163133°

Zum Beispiel ein Flug von Frankfurt nach Rio de Janeiro, wo beim Weltgipfel im Juni 1992 die Agenda 21 beschlossen wurde, u.a. mit dem Ziel, den Treibhausgas-Ausstoß einzudämmen (Klimarahmenkonvention).
Einfache Entfernung (Luftlinie) = 9.584 km, doppelte Entfernung = 19.168 km
Der Hin- und Rückflug erzeugt also ca. 19.168 km * 320 g/km = 6.314 kg = 6,3 t
Überschlägige Kopfrechnung: 19,2/3 = 6,4.
Eine genauere Berechnung der THG-Emissionen von Flügen bietet atmosfair mit der Option, den THG-Ausstoß zu neutralisieren durch eine Spende, mit der Projekte in armen Ländern gefördert werden, die dort THG in gleichem Umfang einsparen sollen.
Der Flug Frankfurt <-> Rio erzeugt laut atmosfair 6,263 t CO2e und kann mit 145 € ( entspricht 23,15 €/t) kompensiert werden (Zugriff am 14.12.15).

Soll die 2 °C-Schwelle nicht überschritten werden, dürfen nur 2,5 Tonnen CO2 pro Jahr pro Kopf [3] ausgestoßen werden, d.h. allein der Flug Frankfurt <-> Rio überschreitet das Jahresbudget um das 2,5-Fache.
  
Ausbreitung von
Schadstoffwolken
und
Tsunami-Wellen
Die Luftlinien-Entfernung ist wichtig, um die Ausbreitung von Schadstoffwolken nach einer Havarie z.B. in einem Atomkraftwerk oder Chemiewerk oder nach einem Vulkanausbruch zu berechnen. Auch für die Ausbreitung von Tsunami-Wellen in den Weltmeeren ist die Luftlinienberechnung nützlich.
Dazu im Folgenden einige Beispiele:
  
Tschernobyl
51.389444°, 30.099167°
Beim Super-GAU in Tschernobyl ab dem 26.4.1986 wurden radioaktive Partikel weit über 1000 km verbreitet, u.a. auch nach Süddeutschland, wo bis heute z.B. Pilze und Fleisch von Wildtieren so stark radioaktiv belastet sind, dass sie zum Verzehr nicht geeignet sind.
Tschernobyl - München (48.137222°, 11.575556°) = 1.376 km
Fukushima
37.421389°, 141.0325°
Beim Super-GAU in Fukushima ab dem 11.3.2011 bestand lange die Gefahr, dass sich die radioaktive Wolke bis in die Metropolregion Tokio ausbreitet, seinerzeit mit ca. 40 Mio Einwohnern die bevölkerungsreichste Region weltweit, was dann glücklicherweise nicht geschah. Bei häufigen Westwinden hätte sich die Wolke bis Hawaii oder sogar bis an die Westküste Amerikas ausbreiten können.
Fukushima - Tokio (35.683889°, 139.774444°) = 224 km
Fukushima - Hawaii (21.311389°, -157.796389°) = 6.091 km
Fukushima - San Francisco (37.7793°, -122.4192°) = 8.071 km
Tsunami 2004
Epizentrum
3.29°, 95.98°

Der folgenschwerste Tsunami der jüngeren Geschichte wurde durch ein sehr starkes Seebeben am 26.12.2004 mit Epizentrum vor der Nordwestküste Sumatras ausgelöst. Die Tsunamiwelle breitete sich über die Weltmeere aus, z.B. im indischen Ozean bis an die Küste Afrikas.
Epizentrum/
Sumatra - Mogadischu (2.033333°, 45.333333°) = 5.633 km
  

Vulkanausbruch 2010
Eyjafjallajökull

63.633333°, -19.6°

Die Aschewolke aus dem Ausbruch des Vulkans Eyjafjallajökull auf Island ab dem 20.3.2010 legte über Wochen den Flugverkehr in weiten Teilen Europas lahm. Bis zum 21.4.10 wurden über 95.000 Flüge gestrichen. Auch danach mussten noch Flügge annulliert werden, z.B. in München am 9.5.10.
Eyjafjallajökull - München (48.137222°, 11.575556°) = 2.555 km
 
Vesuv
40.821389°, 14.425556°

Phlegräische Felder
40.827681°, 14.139043°
Der letzte große Ausbruch des Vesuvs 79 n. Chr. zerstörte u.a. die Städte Pompeji, Herculaneum, Stabiae und Oplontis, heute beliebte Touristenziele. Mit einem neuerlichen Ausbruch muss jederzeit gerechnet werden. Betroffen wäre vor allem die Metropolregion Neapel (4,4 M) in unmittelbarer Nähe, aber auch Rom (2,8 M) und je nach Windströmung auch weite Teile Europas. Eine noch größere Gefahr stellen die Phlegräische Felder dar, ein Supervulkan mit Zentrum nahe Neapel, dessen Ausbruch Neapel unmittelbar, auch Rom völlig zerstören und weite Teile Europas durch Ascheregen und Säurewolken heimsuchen würde. [ZEIT-Wissen 29.12.05].
Phlegräische Felder - Neapel (40.833333°, 14.25°)  = 9 km
Vesuv - Neapel (40.833333°, 14.25°) = 15 km.
Vesuv - Rom (41.883333°, 12.483333°) = 201 km
Vesuv - Berlin (52.518611°, 13.408333°) = 1.304 km
  
Reichweite von
Langstreckenraketen

Pjöngjang
(39.03°, 125.73°)
Am 7.2.16 km testete Nordkorea entgegen den Resolutionen des UN-Sicherheitrats ein weiteres Mal eine Langstreckenrakete. Mit einer Reichweite von 10.000 km könnte solch eine Rakete den Westen der USA und weite Teile Westeuropas erreichen.
Pjöngjang - Los Angeles (34.052222°, -118.243611°) = 9.571 km
Pjöngjang - Denver (39.778889°, -104.9825°) = 9.860 km
Pjöngjang - London (51.50939°, -0.11832°) = 8.671 km
Pjöngjang - Paris (48.856667°, 2.351667°) = 8.780 km
Pjöngjang - Madrid (40.4125°, -3.703889°) = 9.811 km
  
  
Formel zur Berechnung der Luftlinien-Entfernung
 

Die Berechnung der Entfernung (Luftlinie) zweier Orte A und B auf der Erdkugel beruht auf der Berechnung der Orthodrome , d.h. die Erde wird als exakte Kugel angenommen mit dem Äquatorradius r, der aus dem Äquatorumfang U berechnet wird:
r
= U / (2•π) = 40075,017 km / (2•π) = 6.378,137 km.
Formel

Luftlinie = 6.378,137 arccos(z)
     mit z =  sin(xA) • sin(xB)  +  cos(xA) • cos(xB) • cos(yB - yA)

 

xA, yA  bzw. xB, yB: Breite, Länge von Ort A bzw. Ort B im Bogenmaß.

Falls B der Antipode (s.u.) zu A ist, folgt:
Luftlinie = U / (2•π) • arccos(- 1) = U / (2•π) • π = U/2 = 40.075,017
(Herleitung s.u.)

Genauigkeit

Abweichung der Erde
von der Kugelform
Da der Erdradius gemäß WGS84 nur auf 1 Meter genau definiert ist, kann auch das Ergebnis allenfalls auf 1 Meter genau sein. Weitaus größere Abweichungen ergeben sich daraus, dass die Erde wegen ihrer Rotation durch Fliehkraft am Äquator dicker ist als an den Polen: sie ist keine Kugel sonden ein Rotationsellipsoid, d.h. der Umfang längs des Äquators ist größer als über die Pole.
 
Umfang
Halb-Umfang
Viertel-Umfang
Durchmesser
Radius
Äquator  
40.075,017
20.037,509
10.018,754
12.756,274  
6.378,137
Pole  
40.007,863
20.003,932
10.001,966
12.713,504  
6.356,752
Unterschied  
     67,154
     33,577
      16,789
  42,770  
     21,385 
WGS84:  Äquatorradius = große Halbachse a = 6.378,137 km,   Abplattung der Erde f = 1/298,257.223.563
              Polradius = kleine Halbachse b = a(1 - f) = 6.356,752.314.2 km.

 
Die maximale Entfernung des obigen Rechners ist der Halb-Umfang des Äquators, also 20.037,509 km, z.B. für Ort A(0°,0°) und sein Antipode (s.u.) B(0°,180°).
Die Entfernung über Pol ist aber nur 20.003,932 km, 33,577 km (0,168 %) weniger.
Im Extremfall liefert der obige Rechner also eine rund 34 km zu große Entfernung.
  
Abweichung
Äquator zum Pol

Die Entfernung vom Äquator, z.B. von der Amazonas-Mündung (0°,- 50°), zu einem Pol, z.B. zum Nordpol (90°, x°), x beliebig, ist real gleich dem Viertel-Polumfang, also 10.001,966 km, der Rechner liefert den um 16,789 km größeren Viertel-Äquatorumfang von 10.018,754 km.
 

Antipode
Berechnung

Den Antipoden zu A erhält man duch Punktspiegelung von A am Erdmittelpunkt, d.h. die Breite wird an 0° und die Länge an 180° gespiegelt, Ort A(x,y) hat also den Antipoden B(-x, y ± 180°) (y≤0; y>0),   z.B.:  (50,20) → (-50,-160);   (-50, -20) → (50,160);   (0,0) → (0,180);  (0,180) → (0,0);  (90, -50) → (-90,130).  
   

Vorgabe-Ort:
Frankfurt a.M.
50.110556°, 8.682222°
Ort A
Antipode zu A
Luftlinie bei
Antipoden

Ist der Ort B der Antipode zu A, so ist die Luftlinie = U/2, was auch mathematisch aus der obigen Formel folgt (Breite u. Länge im Bogenmaß): y sei eine positive Zahl: y > 0.
1. Fall: A(x,y)  ⇒  B(-x, y - π);    2. Fall: A(x, -y)  ⇒  B(-x, π - y );
Im 1. Fall folgt: cos(yB - yA) = cos (y - π - y ) = cos(-π) = -1
Im 2. Fall folgt: cos(yB - yA) = cos (π-y - (-y)) = cos( π) = -1

Aus der Symmetrie von sin und cos folgt: sin(-x) = - sin(x), cos(-x) = cos(x).

Einsetzen in z =  sin(xA) • sin(xB)  +  cos(xA) • cos(xB) • cos(yB - yA) liefert:

z = - sin(x) • sin(x) + cos(x) • cos(x) • (-1) = - ( sin2(x) + cos2(x) ) = - 1, also:

Luftlinie = U/(2π) • arccos( - 1) = U/(2π) • π = U/2

Luftlinie bei
gleichen Orten

Ist Ort B gleich zu A, so ist die Luftlinie = 0, was auch mathematisch aus der obigen Formel folgt:
A(xA,yA) = B(xB,yB)  ⇒xA= xB = x und yA = yB = y, also:  
cos(yB - yA) = cos (y - y ) = cos(0) = 1

Einsetzen in z =  sin(xA) • sin(xB)  +  cos(xA) • cos(xB) • cos(yB - yA) liefert:

z = sin(x) • sin(x) + cos(x) • cos(x) • 1 = sin2(x) + cos2(x) = 1, also:

Luftlinie = U/(2π) • arccos(1) = U/(2π) • 0 = 0

zum Seitenanfang Anmerkungen
Anmerkungen werden im obigen Text durch [n] markiert, wobei n eine interne Nummer ist, die der zeitlichen Reihenfolge der Einführung der Anmerkungen [1], [2], [3], ..., folgt, die im Zuge von Ergänzungen abweichen kann von der Reihenfolge im Text. Durch einen Klick auf   [n]  gelangt man an die Textstelle der Anmerkung.
  
Bei sich möglicherweise verändernden Quellen (Websites) wird das Datum des Zugriffs (Z TT.MM.JJ) notiert, ansonsten das interne Datum [TT.MM.JJ] der jeweiligen Quelle, sofern vorhanden.
  
[1] Die Rechenungenauigkeit könnte natürlich bei der Programmierung des obigen Luftlinien-Rechners z.B. durch die Anweisung " Falls z < -1 dann z := -1 " korrigiert werden. Auf diese Möglichkeit wird aber bewusst verzichtet, weil das Auftauchen des NAN-Fehlers dazu motiviert, seine Ursache zu finden und dazu die Berechnungsformel genauer zu untersuchen, was die Kenntnisse in Trigonometrie auffrischt. Der Fehler macht auch bewusst, dass eine computerbasierte Rechnung Grenzen in der Genauigkeit hat und in Grenzfällen kein oder sogar ein falsches Ergebnis liefern kann.
[2] Der Chimborazo (-1.469167°, -78.8175°) ist der Berg, dessen Gipfel mit 6.384,557 km den größten Abstand zum Erdmittelpunkt hat. Der Mt. Everest (27.988056°, 86.925278°) hat mit 6.382,414 km einen um 2,143 km geringeren Abstand, obwohl er bei der Höhe über Meeresspiegel (8,848 km) den Chimborazo (6,267 km) um 2,581 km überragt. Der Grund dafür ist, dass die Nähe zum Äquator einen weit größeren Effekt hat als die Höhe über Meeresspiegel. Die Erde ist nämlich aufgrund ihrer Rotation nicht eine Kugel sondern ein Rotationsellipsoid: im Vergleich zur Kugel ist sie am Äquator dicker und an den Polen geplättet. Der Äquatorradius ist um 21,408 km größer als der Polradius (s.Tabelle), 8,3 mal soviel wie der Unterschied der Höhe über Meeresspiegel von Mt. Everest und Chimborazo (→ höchster Berg).
[3] Das CO2-Budget von 2,5 Tonnen pro Jahr pro Kopf folgt aus einem Global-Budget von 750 Gt CO2 für die 40 Jahre von 2010 bis 2050 für die gesamte Menschheit. (→ Treibhausgase / 2,5 Tonnen-CO2)
[4] Bei Wikipedia ( Genauere Formeln zur Abstandsberechnung auf der Erde) wird die Entfernung von Berlin (52.516667°, 13.4°) bis Tokio (35.7°, 139.766667°) mit 8941,203 km angeblich auf 50 m genau berechnet, was jedoch nicht stimmen kann: dieser Wert ist rund 12,3 km größer als das Ergebnis des obigen Online-Rechners (8928,954 km), das bereits zu groß ist, da es auf der Geometrie der Kugel beruht, die größere Werte liefert als das genauere Rotationsellipsoid.
 


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